Bài tập 5, § 5

(a) Cho K là một trường, $v$ là một giá trị trên K và $\Gamma$ là nhóm cấp của $v$. Để K là compact tuyến tính (chương III, § 2, Bài tập 15) với tôpô $\mathscr{T}_v$, điều kiện cần và đủ là, với mọi tập con được sắp tốt B của $\Gamma$ và mọi họ $(a_\beta)_{\beta \in B}$ gồm các phần tử của K sao cho, với $A < \mu < v$,

tồn tại một phần tử $a \in K$ sao cho $v(a - a_\lambda) = v(a_\lambda - a)$ đối với mọi cặp có thứ tự của các chỉ số $A, \mu$ sao cho $\mu > A$. (Sử dụng Bài tập 4 của Lý thuyết tập hợp,

chương 111, § 2). Nếu điều này đúng, vành A của giá trị v cũng là compact tuyến tính với tôpô rời rạc.

(b) Chứng minh rằng trường S(\Gamma, k) = K được định nghĩa trong § 3, Bài tập 2 là compact tuyến tính với $\mathscr{T}_v$. Lấy \Gamma là nhóm được sắp thứ tự toàn phần \mathbf{Q} của các số hữu tỉ và xét vành con K_0 của K gồm các $x = (x_\alpha)$ sao cho tập hợp các $a \in \mathbf{Q}$ mà $x, \# 0$ là hữu hạn hoặc là tập hợp các điểm của một dãy tăng ngặt tiến tới $+\infty$. Chứng minh rằng K_0 là một trường đầy đủ đối với giá trị $v_0$ cảm sinh bởi giá trị chính tắc v trên K và rằng $v_0$ có cùng nhóm giá trị và trường thặng dư với v nhưng K_0 không là compact tuyến tính (xem § 10, Bài tập 2).