Exercice 7, § 5

Soient K un corps, v une valuation discrète sur K telle que K soit complet pour τ_v; on désigne par A et p l’anneau et l’idéal de v, par U = A - p l’ensemble des éléments inversibles de A. Soit u un isomorphisme de K sur un sous-corps de K.

a) Montrer que l’on a u(p) ⊂ A et u(U) ⊂ U. (Pour prouver le premier point, observer que pour tout z ∈ p l’équation x^n = 1 + z admet une solution dans A pour tout n > 0 étranger à la caractéristique du corps résiduel de v en utilisant le lemme de Hensel; si l’on avait v(u(z)) < 0, en déduire que l’entier v(u(z)) devrait être divisible par tout entier n > 0 étranger à la caractéristique du corps résiduel de v. Déduire alors la seconde assertion de la première).

b) Déduire de a) que, ou bien u(K*) ⊂ U, ou bien u est continu (considérer l’image par u d’une uniformisante de v).

c) Donner un exemple de corps algébriquement clos Ω tel qu’en prenant K = Ω((X)), K soit isomorphe à un sous-corps de K contenu dans U ∪ {0} (cf. Alg., chap. V, § 5, exerc. 13).