Bài tập 7, § 5

Cho K là một trường và v là một định giá rời rạc trên K sao cho K đầy đủ với $\mathscr{T}_v$: ký hiệu $\mathbf{A}$ và $\mathfrak{p}$ lần lượt là vành và iđêan của v và $U = \mathbf{A} - \mathfrak{p}$ là tập hợp các phần tử khả nghịch của $\mathbf{A}$. Cho $u$ là một đẳng cấu của K lên một trường con của K.

(a) Chứng minh rằng $u(\mathfrak{p}) \subset \mathbf{A}$ và $u(U) \subset U$. (Để chứng minh điểm thứ nhất, nhận xét rằng với mọi $z \in \mathfrak{p}$ phương trình $x^n = 1 + z$ có một nghiệm trong $\mathbf{A}$ với mọi $n > 0$ nguyên tố cùng nhau với đặc số của trường thặng dư của v, sử dụng Bổ đề Hensel; nếu $v(u(z)) < 0$, suy ra rằng số nguyên $v(u(z))$ sẽ chia hết cho mọi số nguyên $n > 0$ nguyên tố cùng nhau với đặc số của trường thặng dư của v. Sau đó suy ra mệnh đề thứ hai từ mệnh đề thứ nhất.)

(b) Suy ra từ (a) rằng, hoặc là $u(K^*) \subset U$, hoặc là $u$ liên tục (xét ảnh qua $u$ của một phần tử chuẩn hóa của v).

(c) Cho một ví dụ về một trường đóng đại số $\Omega$ sao cho, lấy $K = \Omega((X))$, K đẳng cấu với một trường con của K được chứa trong $U \cup \{0\}$ (xem Đại số, chương V, § 5, bài tập 13).