Exercice 8, § 5

Algèbre commutative, VI

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

a) Soient K un corps, v une valuation de hauteur 1 sur K, A son anneau. Soient H une partie compacte de K (pour la topologie τ_v), a ≠ 0 un point de K. Montrer qu’il existe un polynôme f ∈ K[X] sans terme constant et tel que f(a) = 1, f(H) ⊂ A. (Prouver qu’on peut prendre pour f un polynôme de la forme

1 - (1 - a^{-1}X)(1 - c_1^{-1}X)^{n(1)} \ldots (1 - c_r^{-1}X)^{n(r)}

où les c_i sont des éléments de H tels que v(c_i) < v(a), convenablement choisis, et les n(i) des entiers ≥ 0 assez grands).

b) Soit X un espace compact totalement discontinu; on munit l’anneau C(X; K) des applications continues de X dans K de la topologie de la convergence uniforme. Soit B un sous-anneau de C(X; K) contenant les constantes et séparant les points de X; montrer que B est dense dans C(X; K) (Utiliser a) et Top. gén., chap. X, 2e éd., § 4, exerc. 21 b)).

Solution

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