Bài tập 8, § 5

(a) Cho $K$ là một trường, $v$ là một valuation trên $K$ có chiều cao 1 và $A$ là vành của nó. Cho $H$ là một tập con compact của $K$ (với tôpô $\mathscr{T}_v$) và $a \neq 0$ là một điểm của $K$. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một đa thức $f \in K[X]$ không có số hạng hằng và sao cho $f(a) = 1, f(H) \subset A$. (Chứng minh rằng có thể chọn $f$ là một đa thức có dạng

trong đó các $c_i$ được chọn thích hợp trong $H$ sao cho $v(c_i) < v(a)$ và các $n(i)$ là các số nguyên đủ lớn $> 0$.)

(b) Cho $X$ là một không gian compact hoàn toàn không liên thông; cho vành $C(X; K)$ gồm các ánh xạ liên tục từ $X$ vào $K$ được trang bị tôpô hội tụ đều. Cho $B$ là một vành con của $C(X; K)$ chứa các hằng và phân biệt các điểm của $X$; hãy chỉ ra rằng $B$ trù mật trong $C(X; K)$ (Dùng (a) và General Topology, Chương X, § 4, Bài tập 21 (b).)