Exercice 9, § 5

Soient A un anneau de valuation discrète, π une uniformisante de A, K le corps des fractions de A; on suppose A complet pour la topologie π-adique. Les A-modules injectifs (Alg., chap. II, 3e éd., § 2, exerc. 11) sont identiques aux A-modules divisibles (Alg., chap. VII, § 2, exerc. 3) et sont sommes directes de A-modules isomorphes soit à K, soit à K/A (Alg., chap. VII, , exerc. 3). En outre, tout A-module monogène est isomorphe à un sous-module de K/A. On appelle dual torique (algébrique) d’un A-module M le A-module Hom_A(M, K/A), que l’on note M*; l’application canonique c_M : M → M** est injective (Alg., chap. II, 3e éd., § 2, exerc. 13 b)). Pour tout sous-module N de M, le sous-module N^0 de M* formé des u tels que u(x) = 0, est appelé l’orthogonal de N dans M*; le dual de M/N s’identifie canoniquement à N^0 et le dual de N à M*/N^0. Le dual torique d’une limite inductive lim M_α est canoniquement isomorphe à la limite projective lim M_α^*

a) On sait que les A-modules de rang un (Alg., chap. VII, § 4, exerc. 22) sont isomorphes à un module de l’une des formes A, K, K/A ou A/π^hA. Montrer que les duals toriques algébriques de K ou de A/π^hA leur sont respectivement isomorphes, que le dual torique de A est isomorphe à K/A et que celui de K/A est isomorphe à A (on utilisera la connaissance des sous-A-modules de K et le fait que A est complet (pour le dual de K/A)). En déduire que pour tout A-module M de rang fini, M* est un module de même rang et que l’homomorphisme canonique c_M est bijectif.

b) Soient M un A-module, N un sous-module de rang fini de M. Montrer que l’orthogonal de N^0 dans M** s’identifie (par c_M) à N (utiliser a)).

c) Montrer qu’un A-module M qui est noethérien (resp. artinien) est de rang fini (plonger M dans son enveloppe injective (Alg., chap. II, 3e éd., § 2, exerc. 18)); alors M* est artinien (resp. noethérien).

d) On désigne par σ(M*, M) la topologie (sur M*) de la convergence simple dans M (K/A étant muni de la topologie discrète). Montrer que si N est un sous-module de M, σ(N^0, M/N) est induite sur N^0 par σ(M*, M), et que σ(M*/N^0, N) est quotient par N^0 de la topologie σ(M*, M). (Pour le second point, on notera que si P est un sous-module de M tel que N ⊂ P, le dual de P/N s’identifie à N^0/P^0). Si M = lim M_α, la topologie σ(M*, M) est limite projective des topologies σ(M_α^*, M_α).

e) Les topologies σ(K, K) et σ(A, K/A) sont les topologies π-adiques; les topologies σ(A/π^hA, A/π^hA) et σ(K/A, A) sont les topologies discrètes. En déduire que pour tout A-module M, le module M*, muni de σ(M*, M) est linéairement compact (chap. III, § 2, exerc. 15; on considérera M comme module quotient d’un A-module libre).

f) Soient M, N deux A-modules; pour tout homomorphisme u : M → N, on note ^t u l’homomorphisme Hom(u, 1_{K/A}) de N* dans M*, tel que (^t u(w))(x) = w(u(x)) pour tout x ∈ M et tout w ∈ N*; montrer que ^t u est continu pour les topologies σ(N*, N) et σ(M*, M). Si u est l’endomorphisme x → πx de M, ^t u est l’endomorphisme w → πw de M*. Pour tout sous-module P de M, on a (u(P))^0 = ^t u^{-1}(P^0).