Bài tập 9, § 5

Cho $A$ là một vành định giá rời rạc, $\pi$ là một phần tử nguyên tố của $A$ và $K$ là trường các phân thức của $A$; giả sử rằng $A$ là đầy đủ đối với tôpô $\pi$-adíc. Các $A$-môđun đơn ánh (Đại số, chương II, § 2, bài tập 11) đồng nhất với các $A$-môđun chia được (Đại số, chương VII, § 2, bài tập 3) và là các tổng trực tiếp của những $A$-môđun đẳng cấu với $K$ hoặc $K/A$ (Đại số, chương VII, § 2, bài tập 3). Hơn nữa, mọi $A$-môđun đơn sinh đều đẳng cấu với một môđun con của $K/A$. $A$-môđun $\mathrm{Hom}_A(M, K/A)$ được gọi là đối ngẫu toric (đại số) của một $A$-môđun $M$ và được ký hiệu bởi $M^*$; ánh xạ chính tắc $c_M : M \to M^{**}$ là đơn ánh (Đại số, chương II, § 2, bài tập 13 (b)). Với mọi môđun con $N$ của $M$, môđun con $N^0$ của $M^*$ gồm các $u$ sao cho $u(x) = 0$ được gọi là trực giao của $N$ trong $M^*$; đối ngẫu của $M/N$ được đồng nhất một cách chính tắc với $N^0$ và đối ngẫu của $N$ với $M^*/N^0$. Đối ngẫu toric của một giới hạn trực tiếp $\varprojlim M_\alpha$ đẳng cấu chính tắc với giới hạn ngược $\varprojlim M_\alpha^*$.

(a) Ta biết rằng các $A$-môđun có hạng một (Đại số, chương VII, § 4,

bài tập 22) đẳng cấu với một trong các môđun A, K, K/A hoặc $A/\pi^n A$. Hãy chứng minh rằng các đối ngẫu toric đại số của K và $A/\pi^n A$ lần lượt đẳng cấu với K và $A/\pi^n A$, rằng đối ngẫu toric của A đẳng cấu với K/A và đối ngẫu toric của K/A đẳng cấu với A (sử dụng hiểu biết về các môđun con của K và sự kiện rằng A là đầy đủ (đối với đối ngẫu của K/A)). Suy ra rằng, với mọi A-môđun có hạng hữu hạn M, $M^*$ là một môđun có cùng hạng và đồng cấu chính tắc $c_M$ là song ánh.

(b) Cho M là một A-môđun và N là một môđun con của M có hạng hữu hạn. Hãy chứng minh rằng trực giao của $N^0$ trong $M^{**}$ được đồng nhất (bởi $c_M$) với N (sử dụng (a)).

(c) Hãy chứng minh rằng một A-môđun M là Noether (tương ứng Artin) thì có hạng hữu hạn (nhúng M vào bao đơn ánh của nó (Đại số, chương II, § 2, bài tập 18)); khi đó $M^*$ là Artin (tương ứng Noether).

(d) Ký hiệu $\sigma(M^*, M)$ là tôpô (trên $M^*$) của hội tụ điểm trên M (trong đó K/A được trang bị tôpô rời rạc). Hãy chứng minh rằng, nếu N là một môđun con của M, thì $\sigma(N^0, M/N)$ là tôpô cảm sinh trên $N^0$ bởi $\sigma(M^*, M)$ và $\sigma(M^*/N^0, N)$ là thương bởi $N^0$ của tôpô $\sigma(M^*, M)$. (Đối với điểm thứ hai, chú ý rằng, nếu P là một môđun con của M sao cho $N \subset P$, thì đối ngẫu của P/N được đồng nhất với $N^0/P^0$). Nếu $M = \lim_{\longrightarrow} M_\alpha$, tôpô $\sigma(M^*, M)$ là giới hạn ngược của các tôpô $\sigma(M^*_\alpha, M_\alpha)$.

(e) Các tôpô $\sigma(K, K)$ và $\sigma(A, K/A)$ là các tôpô x-adic; các tôpô $\sigma(A/\pi^n A, A/\pi^n A)$ và $\sigma(K/A, A)$ là các tôpô rời rạc. Suy ra rằng với mọi A-môđun M, môđun $M^*$ với $\sigma(M^*, M)$ là compact tuyến tính (Chương III, § 2, Bài tập 15; coi M như một môđun thương của một A-môđun tự do).

(f) Cho M, N là hai A-môđun; với mỗi đồng cấu $u : M \to N$, ký hiệu $^t u$ là đồng cấu $\mathrm{Hom}(u, 1_{K/A})$ từ $N^*$ đến $M^*$ sao cho

với mọi $x \in M$ và mọi $w \in N^*$; chứng minh rằng $^t u$ liên tục đối với các tôpô $\sigma(N^*, N)$ và $\sigma(M^*, M)$. Nếu $u$ là tự đồng cấu $x \mapsto \pi x$ của M, thì $^t u$ là tự đồng cấu $w \mapsto \pi w$ của $M^*$. Với mọi môđun con P của M, $(u(P))^0 = ^t u(P^0)$.