Exercice 3, § 7

Soient $A_i (1 \leq i \leq n)$ des anneaux de valuation deux à deux indépendants pour un corps $K$, et soit $A = \bigcap_i A_i$. Pour tout $i$, soit $a_i$ un idéal $\neq 0$ de $A_i$, et posons $a = \bigcap_i a_i$; montrer que pour tout $i$, on a $a_i = A_i a$. Inversement, si $b$ est un idéal $\neq 0$ de $A$ et si l’on pose $b_i = A_i b$, on a $b = \bigcap_i b_i$ (utiliser le th. 1 du no 2).