Exercice 4, § 8

Soient $k$ un corps, $K = k(X, Y)$ le corps des fractions rationnelles à deux indéterminées sur $k$, $v$ la valuation sur $K$ à valeurs dans le groupe $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$ ordonné lexicographiquement, telle que $v(X) = (0, 1)$, $v(Y) = (1, 0)$. Soit $K'$ le corps $K(\sqrt{X})$; montrer que $v$ a un seul prolongement $v'$ à $K'$ et que l’on a $e(v'/v) = 2$, f(v'/v) = 1, mais l’anneau de la valuation v' n’est pas un module de type fini sur l’anneau de la valuation v.