Exercice 7, § 8

Soient K un corps, $v$ une valuation sur K, A l’anneau de $v$, m l’idéal de $v$. On suppose A hensélien; soit L une extension de K de degré fini $n$; soient $v'$ l’unique valuation sur L prolongeant $v$ (exerc. 6 e)), $A'$ son anneau, $m'$ son idéal. Soit $x$ un élément quelconque de $A'$; montrer que le degré sur $A/m$ de la classe $\overline{x}$ de $x$ dans $A'/m'$ est un diviseur de $n$, et que l’ordre de la classe de $v'(x)$ dans $\Gamma_{v'}/\Gamma_{v'}$ est un diviseur de $n$ (considérer le polynôme minimal de $x$ sur K).