Exercice 4, § 9

a) Soient K un corps commutatif, $v$ une valuation sur K telle que K soit hensélien pour $v$ (§ 8, exerc. 6). On suppose en outre que K et le corps résiduel k de K soient de caractéristique 0. Montrer qu’il existe un sous-corps $K_0$ de l’anneau A de $v$ tel que l’application canonique $A \to k$, restreinte à $K_0$, soit un isomorphisme de $K_0$ sur k. (Soit H un sous-corps de A tel que l’image de H par l’application canonique soit un isomorphisme sur un sous-corps E de k; montrer que si $E \neq k$, il existe $\alpha \in H$ dans A tel que le sous-corps $H(\alpha)$ de K soit contenu dans A et canoniquement isomorphe à E(\overline{\alpha}), où \overline{\alpha} est la classe de \alpha dans k; on distinguera deux cas suivant que \overline{\alpha} est algébrique ou transcendant sur E).

b) On suppose en outre que v soit une valuation discrète et que K soit complet pour v; déduire de a) que K est isomorphe au corps de séries formelles $k((T))$.