Bài tập 4, § 9

(a) Cho K là một trường giao hoán và $v$ là một định giá trên K sao cho K là Hensel đối với $v$ ($§ 8$, Bài tập 6). Giả sử thêm rằng K và trường thặng dư $k$ của $v$ có đặc số 0. Chứng minh rằng tồn tại một trường con $K_0$ của vành $\mathbf{A}$ của $v$ sao cho ánh xạ chính tắc $\mathbf{A} \to k$, hạn chế trên $K_0$, là một đẳng cấu của $K_0$ lên $k$. (Cho H là một trường con của $\mathbf{A}$ sao cho ảnh của H qua ánh xạ chính tắc là một đẳng cấu lên một trường con E của $k$; chứng minh rằng, nếu $E \neq k$, tồn tại $\alpha \notin H$ trong $\mathbf{A}$ sao cho trường con $H(\alpha)$ của K được chứa trong $\mathbf{A}$ và đẳng cấu một cách chính tắc với $E(\bar{\alpha})$, trong đó $\bar{\alpha}$ là lớp của $\alpha$ trong $k$; phân biệt hai trường hợp tùy theo việc $\bar{\alpha}$ là đại số hay siêu việt trên E.)

(b) Giả sử thêm rằng $v$ là một định giá rời rạc và K là đầy đủ đối với $v$; suy ra từ (a) rằng K đẳng cấu với trường chuỗi lũy thừa hình thức $k((T))$.