Exercice 10, § 1

Soient A un anneau de Krull, K son corps des fractions, L un corps contenant K, $(B_\alpha)$ une famille filtrante croissante d’anneaux de Krull contenant A et contenus dans L, tels que le corps des fractions $L_\alpha$ de $B_\alpha$ soit une extension algébrique de degré fini de K et que $B_\alpha$ soit la fermeture intégrale de A dans $L_\alpha$. Pour toute valuation essentielle $v$ de A et tout $\alpha$, soit $e_\alpha(v)$ la somme des indices de ramification des valuations de $B_\alpha$ qui prolongent $v$. Montrer que pour que la réunion des $B_\alpha$ soit un anneau de Krull, il faut et il suffit que pour toute valuation essentielle $v$ de A, l’ensemble des $e_\alpha(v)$ soit borné.