Exercice 21, § 1

On dit qu’un anneau intègre A est pseudo-bezoutien (resp. pseudo-principal) si, avec les notations de l’exerc. 5, le groupe K*/U est réticulé (resp. complètement réticulé). Tout anneau bezoutien (resp. factoriel) est pseudo-bezoutien (resp. pseudo-principal). Tout anneau pseudo-principal est pseudo-bezoutien. Un anneau de valuation dont le groupe des ordres est R est pseudo-principal mais non principal. Tout anneau pseudo-bezoutien (resp. pseudo-principal) est intégralement clos (resp. complètement intégralement clos) (utiliser l’exerc. 6). Tout anneau pseudo-bezoutien noethérien est factoriel. Donner un exemple d’anneau noethérien intégralement clos (donc de Krull) et non pseudo-bezoutien (cf. exerc. 2). Si A est pseudo-bezoutien, il en est de même de S^{-1}A pour toute partie multiplicative S de A telle que 0 \notin A (utiliser le chap. II, § 2, exerc. 1).