Exercice 24, § 1

Soient $K$ un corps algébriquement clos, $A = K[X, Y]$ l’anneau des polynômes à deux indéterminées sur $K$, qui est un anneau de Krull (et même un anneau factoriel). Pour tout couple $(\alpha, \beta) \in K^2$, soit $w_{\alpha, \beta}$ la valuation discrète sur $A$ telle que, pour tout polynôme $f \neq 0$, $w_{\alpha, \beta}(f)$ soit le plus petit degré des monômes $\neq 0$ dans $f(X + \alpha, Y + \beta)$. Montrer que $A$ est l’intersection des anneaux des valuations $w_{\alpha, \beta}$, dont aucune n’est une valuation essentielle de $A$.