Exercice 16, § 2

Soient A un anneau prüférien, K son corps des fractions, L une extension algébrique de K (de degré fini ou non); montrer que la fermeture intégrale A' de A dans L est un anneau prüférien. (Soit x ∈ L et soit a_0X^n + a_1X^{n-1} + ⋯ + a_n un polynôme de A[X] dont x soit racine; si on pose a_0X^n + a_1X^{n-1} + ⋯ + a_n = (X - x)(b_0X^{n-1} + ⋯ + b_{n-1}), montrer que les b_i et les b_ix appartiennent à A', en utilisant le § 1, exerc. 12a). Si a = ∑_{i=0}^n Aa_i, b = ∑_{j=0}^{n-1} Bb_j, montrer alors que l’idéal b.Ba^{-1} est l’inverse de B + Bx).