Exercice 14, § 4

Soient $A$ un anneau prüférien ($§ 2$, exerc. 12), $M, N$ deux réseaux de type fini dans un espace vectoriel $V$ de rang fini $n$ sur le corps des fractions de $A$. Pour tout $c \neq 0$ dans $A$ tel que $cN \subset M$, on considère les idéaux déterminantiels $d_k(M/cN)$ (exerc. 10), et on pose :

a) Montrer que $d_k(N, M)$ ne dépend pas du choix de $c$ tel que $cN \subset M$; on dit que ce sont les idéaux déterminantiels de $N$ par rapport à $M$.

b) On a $d_k(N, M) \subset d_{k+1}(N, M)$ et $d_n(N, M) = A$. Montrer que si l’on pose $e_k(N, M) = d_{n-k}(N, M)(d_{n-k+1}(N, M))^{-1}$, les idéaux entiers $e_k(N, M)$ sont tels que $e_k(N, M) \supset e_{k+1}(N, M)$ pour $1 \leq k \leq n$; on dit que les idéaux de type fini $e_k(N, M)$ sont les facteurs invariants de $N$ par rapport à $M$ (considérer les $A_m$-modules $M_m$ et $N_m$ pour tout idéal maximal $m$ de $A$).

c) Lorsque $M$ est un réseau de $V$ mais que $N$ est un réseau dans un sous-espace $W$ de $V$ de rang $q < n$, on appelle facteurs invariants de $N$ par rapport à $M$ les facteurs invariants de $N$ par rapport à $M \cap W$.

Montrer comment s’étendent les exerc. 8 à 10 et 14 à 16 d’Alg., chap. VII, § 4.