Bài tập 14, § 4

Cho $A$ là một miền Prüferian ($§ 2$, Bài tập 12) và $M, N$ là hai dàn sinh hữu hạn trong một không gian vectơ $V$ có hạng hữu hạn $n$ trên trường phân thức của $A$. Với mọi $c \neq 0$ trong $A$ sao cho $cN \subset M$, xét các iđêan định thức $\delta_k(M/cN)$ (Bài tập 10) và viết:

(a) Chứng minh rằng $\delta_k(N, M)$ không phụ thuộc vào lựa chọn của $c$ sao cho $cN \subset M$; các iđêan này được gọi là các iđêan định thức của $N$ đối với $M$. (b) $\delta_k(N, M) \subset \delta_{k+1}(N, M)$ và $\delta_n(N, M) = A$. Chứng minh rằng, nếu ta viết $e_k(N, M) = \delta_{n-k}(N, M)(\delta_{n-k+1}(N, M))^{-1}$, thì các iđêan nguyên $e_k(N, M)$ có tính chất $e_k(N, M) \supset e_{k+1}(N, M)$ với $1 \leq k \leq n$; các iđêan sinh hữu hạn $e_k(N, M)$ được gọi là các nhân tử bất biến của $N$ đối với $M$ (xét các $A_m$-môđun $M_m$ và $N_m$ với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$). (c) Nếu $M$ là một dàn của $V$ nhưng $N$ là một dàn trong một không gian con $W$ của $V$ có hạng $q < n$, thì các nhân tử bất biến của $N$ đối với $M \cap W$ được gọi là các nhân tử bất biến của $N$ đối với $M$. Chỉ ra cách các Bài tập 8 đến 10 và 14 đến 16 của Đại số, Chương VII, $§ 4$ có thể được mở rộng.