Exercice 17, § 4

Soient k un corps, A l’anneau des polynômes $k[X, Y]$, L le A-module libre $A^2$, $(e_1, e_2)$ la base canonique de L. Soit M le sous-module de L engendré par les deux vecteurs $(X+1)e_1 + Ye_2, Ye_1 + Xe_2$. Montrer qu’il n’existe aucun pseudo-isomorphisme de L dans lui-même dont la restriction à M soit un pseudo-isomorphisme de M dans un sous-module N de la forme $au + bv$ où $(u, v)$ est une base du A-module L et $a, b$ deux idéaux de A, ou dont la restriction à N soit un pseudo-isomorphisme de N dans M. (En considérant les idéaux déterminantiels (exerc. 10) et en notant que M est réflexif, on peut se limiter au cas où N serait aussi réflexif, et alors on doit nécessairement avoir $a = A, b = AP$, où $P(X, Y) = X(X+1) - Y^2$ est un élément extrémal de A ; montrer enfin que pour toute base $(u, v)$ de L, $M \cap Au$ ne peut ni contenir $Au$, ni être contenu dans $APu$).