Bài tập 17, § 4

Cho k là một trường, A là vành đa thức $k[X, Y]$, L là A-môđun tự do $A^2$ và $(e_1, e_2)$ là cơ sở chính tắc của L. Cho M là môđun con của L sinh bởi hai vectơ $(X + 1)e_1 + Ye_2, Ye_1 + Xe_2$. Chứng minh rằng không tồn tại một giả đẳng cấu từ L vào chính nó, mà hạn chế của nó lên M là một giả đẳng cấu từ M vào môđun con N có dạng $au + bv$ trong đó $(u, v)$ là một cơ sở của A-môđun L và a, b là hai lý tưởng của A, hoặc mà hạn chế của nó lên N là một giả đẳng cấu từ N vào M. (Bằng cách xét các lý tưởng định thức (Bài tập 10) và lưu ý rằng M là phản xạ, có thể chỉ cần xét trường hợp N cũng phản xạ và khi đó tất yếu $a = A, b = AP$, trong đó

là một phần tử cực biên của A; cuối cùng chứng minh rằng, với mọi cơ sở $(u, v)$ của L, $M \cap Au$ không thể vừa chứa Au vừa không thể được chứa trong $APu$.)