Exercice 18, § 4

Soient A un anneau de Dedekind, K son corps des fractions, M, N deux réseaux dans un espace vectoriel V de rang fini $n$ sur K. Soient $e_k = e_k(N, M)$ les facteurs invariants de N par rapport à M (exerc. 14). Montrer qu’il existe une base $(u_i)_{1 \leq i \leq n}$ de V telle que M soit égal à une somme directe $\bigoplus a_i u_i$, où les $a_i$ sont des idéaux fractionnaires, et que N soit égal à la somme directe $\bigoplus e_i a_i u_i$. (Utiliser la théorie des modules de type fini sur un anneau principal (Alg., chap. VII, § 4, n° 2, th. 1) et le théorème d’approximation dans le groupe unimodulaire $\mathrm{SL}(n, A)$ (§ 2, n° 4)).

Etendre ce résultat au cas où A est réunion d’une famille filtrante croissante de sous-anneaux qui sont des anneaux de Dedekind (par exemple la fermeture intégrale d’un anneau de Dedekind dans la clôture algébrique de son corps des fractions).