Bài tập 18, § 4

Cho A là một miền Dedekind, K là trường phân thức của nó và M, N là hai mạng trong một không gian vectơ V hạng hữu hạn $n$ trên K. Cho $e_k = e_k(N, M)$ là các thừa số bất biến của N đối với M (Bài tập 14). Chứng minh rằng tồn tại một cơ sở $(u_i)_{1 \leq i \leq n}$ của V sao cho M bằng một tổng trực tiếp $\bigoplus_i a_i u_i$, trong đó các $a_i$ là các iđêan phân thức, và N bằng tổng trực tiếp $\bigoplus_i e_i a_i u_i$. (Sử dụng lý thuyết về các môđun sinh hữu hạn trên một miền iđêan chính (Đại số, Chương VII, § 4, no. 2, Định lý 1) và định lý xấp xỉ trong nhóm đơn môđula $\mathbf{SL}(n, A)$ ($§ 2$, no. 4).)

Mở rộng kết quả này đến trường hợp A là hợp của một họ có hướng phải các vành con là những miền Dedekind (chẳng hạn bao đóng nguyên của một miền Dedekind trong bao đóng đại số của trường phân thức của nó).