Exercice 24, § 4

Soit A un anneau noethérien intégralement clos. Pour qu’un réseau M (relatif à A) soit réflexif, il faut et il suffit qu’il vérifie la condition suivante : pour tout couple $(a, b)$ d’éléments de A tel que $a \neq 0$ et que l’homothétie de rapport $b$ dans $A/aA$ soit injective, alors l’homothétie de rapport $b$ dans $M/aM$ est injective. (Pour voir que la condition est nécessaire, considérer deux éléments $x, y$ de M tels que $ax + by = 0$ et montrer que pour tout $p \in P(A)$, on a $y \in aM_p$. Pour montrer que la condition est nécessaire, utiliser le critère c) du th. 2, et observer (en utilisant la prop. 8 du § 1, n° 4) que l’hypothèse s’écrit

pour tout $a \neq 0$ dans A, et que pour tout module E tel que $M \subset E \subset V$, il existe $a \neq 0$ dans A tel que $aM \subset aE \subset M$.