Bài tập 24, § 4

Cho $A$ là một miền Noether nguyên đóng. Để một dàn $M$ (đối với $A$) là phản xạ, điều kiện cần và đủ là nó thỏa mãn điều kiện sau: với mọi cặp có thứ tự $(a, b)$ của các phần tử của $A$ sao cho $a \neq 0$ và phép vị tự tỉ số $b$ trên $A/aA$ là đơn ánh, thì phép vị tự tỉ số $b$ trên $M/aM$ cũng là đơn ánh. (Để thấy rằng điều kiện là cần, xét hai phần tử $x, y$ của $M$ sao cho $ax + by = 0$ và chứng minh rằng, với mọi $p \in P(A)$, $y \in aM_p$. Để chứng minh rằng điều kiện là đủ, sử dụng tiêu chuẩn (c) của Định lý 2 và nhận thấy (sử dụng Mệnh đề 8 của § 1, no. 4) rằng giả thiết có thể được viết là

với mọi $a \neq 0$ trong $A$ và rằng với mọi môđun $E$ sao cho $M \subset E \subset V$ tồn tại $a \neq 0$ trong $A$ sao cho $aM \subset aE \subset M.$)