Exercice 4, § 4

Soient k un corps, A l’anneau de polynômes $k[X, Y]$.

a) Soit $(e_1, e_2)$ la base canonique du A-module $A^2$, et soit E le sous-A-module de $A^2$ engendré par $(X - Y)e_1, e_1 + Xe_2$ et $e_1 + Ye_2$; soit F le sous-module monogène de E engendré par $(X - Y)^2e_1$. Montrer que le A-module $M = E/F$ n’est pas somme directe de son sous-module de torsion et d’un module sans torsion.

b) Montrer que le A-module de torsion $A/AXY$ n’est pas somme directe de sous-modules monogènes de la forme $A/\mathfrak{P}_i^n$, où les $\mathfrak{P}_i$ sont des idéaux premiers de hauteur 1.