Bài tập 4, § 4

Cho $k$ là một trường và $A$ là vành đa thức $k[X, Y]$. (a) Cho $(e_1, e_2)$ là cơ sở chính tắc của $A$-môđun $A^2$ và cho $E$ là môđun con-$A$ của $A^2$ sinh bởi $(X - Y)e_1, e_1 + Xe_2$ và $e_1 + Ye_2$; cho $F$ là môđun con đơn sinh của $E$ sinh bởi $(X - Y)^2e_1$. Chứng minh rằng $A$-môđun $M = E/F$ không phải là tổng trực tiếp của môđun con xoắn của nó và một môđun không xoắn. (b) Chứng minh rằng môđun xoắn $A$-môđun $A/AXY$ không phải là một tổng trực tiếp của các môđun con đơn sinh có dạng $A/\mathfrak{p}_i^n$, trong đó các $\mathfrak{p}_i$ là các iđêan nguyên tố có chiều cao 1.