Exercice 6, § 4

Soient k un corps, B l’anneau de polynômes $k[X, Y]$, A le sous-anneau $k[X^2, XY, Y^2]$ de B.

a) Montrer que A est un anneau noethérien intégralement clos et que B est un A-module de type fini.

b) Montrer que l’idéal $p = AX^2 + AXY$ de A est un idéal premier de hauteur 1 (donc divisoriel), mais que le B-module $p \otimes_A B$ a un module de torsion $\neq 0$ et n’est donc pas réflexif; l’idéal $pB$ de B n’est pas divisoriel, l’application canonique $p \otimes_A B \to pB$ n’est pas injective et $p$ n’est pas un A-module plat.