Exercice 7, § 4

Soient A un anneau noethérien intégralement clos, E un A-module sans torsion de type fini, $E^*$ son dual.

a) Montrer que l’homomorphisme canonique $E^* \otimes_A E \to \operatorname{End}_A(E)$ est un pseudo-isomorphisme.

b) Déduire de a) que pour que $E$ soit un $A$-module projectif, il faut et il suffit que $E^* \otimes_A E$ soit un $A$-module réflexif. (Remarquer que si $E^* \otimes_A E$ est réflexif, l’homomorphisme canonique $E^* \otimes_A E \to \operatorname{End}_A(E)$ est bijectif).