Bài tập 7, § 4

Cho $A$ là một miền nguyên đóng nguyên Noether, $E$ là một $A$-môđun xoắn không và sinh hữu hạn, và $E^*$ là đối ngẫu của nó. (a) Chứng minh rằng đồng cấu chính tắc $E^* \otimes_A E \to \operatorname{End}_A(E)$ là một đẳng cấu giả. (b) Suy ra từ (a) rằng để $E$ là một $A$-môđun xạ ảnh, điều kiện cần và đủ là $E^* \otimes_A E$ là một $A$-môđun phản xạ. (Chú ý rằng, nếu $E^* \otimes_A E$ là phản xạ, đồng cấu chính tắc $E^* \otimes_A E \to \operatorname{End}_A(E)$ là song ánh.)