Exercice 8, § 4

Soient $A$ un anneau noethérien intégralement clos, $M_1, M_2$ deux $A$-modules de type fini.

a) Montrer que les $A$-modules $\operatorname{Tor}_i^A(M_1, M_2)$, $\operatorname{Ext}_A^i(M_1, M_2)$ sont pseudo-nuls pour $i \geqslant 2$ (se ramener au cas où $A$ est principal).

b) Si $M_1$ est sans torsion, montrer que $\operatorname{Tor}_1^A(M_1, M_2)$ et $\operatorname{Ext}_A^1(M_1, M_2)$ sont pseudo-nuls (même méthode).

c) Si $M_1$ est un $A$-module de torsion, montrer que l’on a (avec les notations du n° 5):

d) Montrer que pour tout couple de $A$-modules de type fini $M_1, M_2$, on a:

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