Bài tập 8, § 4

Cho $A$ là một miền Noether đóng nguyên và $M_1, M_2$ là hai môđun $A$-sinh hữu hạn. (a) Chứng minh rằng các $A$-môđun $\operatorname{Tor}_i^A(M_1, M_2)$, $\operatorname{Ext}_A^i(M_1, M_2)$ là giả-không với $i > 2$ (rút gọn về trường hợp $A$ là một miền iđêan chính). (b) Nếu $M_i$ là không xoắn, chứng minh rằng $\operatorname{Tor}_1^A(M_1, M_i)$ và $\operatorname{Ext}_A^1(M_1, M_2)$ là giả-không (cùng phương pháp). (c) Nếu $M_i$ là một môđun $A$-xoắn, chứng minh rằng (theo ký hiệu của no. 5):

(d) Chứng minh rằng với mọi cặp có thứ tự các môđun A-sinh hữu hạn $M_1, M_2$: