Exercice 15, § 1

Avec les notations de l’exercice précédent, on suppose que le corps résiduel et le corps des fractions de l’anneau V sont isomorphes (c’est le cas par exemple lorsque $V = k[[U]]$, le corps $k$ étant le corps des fractions d’un anneau de séries formelles à un nombre infini d’indéterminées à coefficients dans un corps). Soit $\sigma$ un isomorphisme de $V[T]/m_1$ sur $V[T]/m_2$. Notons C le sous-anneau de $V[T] = E$ formé des éléments de E dont les classes modulo $m_1$ et $m_2$ se correspondent par $\sigma$. Montrer que C est noethérien et que $m_1 m_2 = m_1 \cap m_2$ est un idéal maximal de C. Montrer que E est la clôture intégrale de C (noter que l’on a $E = C + C.(\pi T - 1)$ et que $(\pi T - 1)^2 + (\pi T - 1)$ appartient à C). Soit A l’anneau local $C_{m_1 m_2}$. Alors A est intègre et de dimension 2, donc caténaire ; la clôture intégrale $B = E \otimes_C A$ de A est un anneau semi-local noethérien possédant exactement deux idéaux maximaux $n_1$ et $n_2$, et on a $\dim(B_{n_1}) = 1$, $\dim(B_{n_2}) = 2$.