Bài tập 15, § 1

Với ký hiệu của bài tập trước, giả sử rằng trường thặng dư và trường phân thức của vành $V$ là đẳng cấu (đây là trường hợp, ví dụ, khi $V = k[[U]]$, trường $k$ là trường phân thức của một vành chuỗi lũy thừa hình thức với một số vô hạn các bất định với các hệ số trong một trường). Gọi $\sigma$ là một đẳng cấu từ $V[T]/m_1$ lên $V[T]/m_2$. Gọi C là vành con của $V[T] = E$ tạo bởi các phần tử của E mà các lớp của chúng modulo $m_1$ và $m_2$ tương ứng với nhau qua $\sigma$. Bây giờ chứng minh rằng C là Noether và rằng $m_1 m_2 = m_1 \cap m_2$ là một iđêan cực đại của C. Bây giờ chứng minh rằng E là bao đóng nguyên của C (chú ý rằng $E = C + C.(\pi T - 1)$ và rằng $(\pi T - 1)^2 + (\pi T - 1)$ thuộc về C).

Gọi A là vành địa phương $C_{m_1 m_2}$. Khi đó A là nguyên và có chiều 2, do đó là catenary; bao đóng nguyên $B = E \otimes_C A$ của A là một vành bán địa phương Noether có đúng hai iđêan cực đại $n_1$ và $n_2$, và ta có $\dim(B_{n_1}) = 1$, $\dim(B_{n_2}) = 2$.