Exercice 4, § 1

a) Montrer qu’on peut associer de manière unique à tout ensemble ordonné E un élément de $\{ -\infty \} \cup \mathbf{N} \cup \{ +\infty \}$, noté dev(E) (déviation de E), de façon que les propriétés suivantes soient satisfaites : α) On a $\operatorname{dev}(E) = -\infty$ si et seulement si la relation $a \leq b$ dans E implique $a = b$. β) Soit n un entier positif. La déviation de E est $\leq n$ si et seulement si, pour toute suite infinie décroissante $(a_k)_{k \in \mathbf{N}}$ d’éléments de E, on a $\operatorname{dev}([a_k, a_{k-1}]) \leq n - 1$ pour tout k suffisamment grand. b) Pour que l’on ait $\operatorname{dev}(E) \leq 0$, il faut et il suffit que toute suite strictement décroissante d’éléments de E soit stationnaire. On a $\operatorname{dev}(\mathbf{N}) = 0$, $\operatorname{dev}(\mathbf{Z}) = 1$, $\operatorname{dev}(\mathbf{Q}) = +\infty$. c) Si E et F sont des ensembles ordonnés et $f : E \to F$ est une application strictement croissante, on a $\operatorname{dev}(E) \leq \operatorname{dev}(F)$. On a $\operatorname{dev}(E \times F) = \sup(\operatorname{dev}(E), \operatorname{dev}(F))$. d) Soit S(E) l’ensemble des suites infinies croissantes stationnaires d’éléments de E, ordonné par l’ordre produit. Alors on a $\operatorname{dev}(S(E)) = \operatorname{dev}(E) + 1$.