Bài tập 4, § 1

a) Bây giờ chứng minh rằng có thể gán duy nhất cho mỗi tập hợp có thứ tự E một phần tử của $\{ -\infty \} \cup \mathbf{N} \cup \{ +\infty \}$, ký hiệu là dev(E) (độ lệch của E), sao cho các tính chất sau đây được thỏa mãn: α) Ta có $\operatorname{dev}(E) = -\infty$ khi và chỉ khi quan hệ $a \leq b$ trong E kéo theo $a = b$. β) Cho n là một số nguyên dương. Độ lệch của E $\leq n$ khi và chỉ khi, với mọi dãy giảm vô hạn $(a_k)_{k \in \mathbf{N}}$ của các phần tử của E, ta có $\operatorname{dev}([a_k, a_{k-1}]) \leq n - 1$ với mọi k đủ lớn. b) Để $\operatorname{dev}(E) \leq 0$, điều kiện cần và đủ là mọi dãy giảm nghiêm ngặt của các phần tử của E đều dừng. Ta có $\operatorname{dev}(\mathbf{N}) = 0$, $\operatorname{dev}(\mathbf{Z}) = 1$, $\operatorname{dev}(\mathbf{Q}) = +\infty$. c) Nếu E và F là các tập hợp có thứ tự và $f : E \to F$ là một ánh xạ tăng ngặt, thì ta có $\operatorname{dev}(E) \leq \operatorname{dev}(F)$. Ta có $\operatorname{dev}(E \times F) = \sup(\operatorname{dev}(E), \operatorname{dev}(F))$. d) Gọi S(E) là tập hợp các dãy tăng dừng vô hạn của các phần tử của E, được sắp thứ tự theo thứ tự tích. Khi đó ta có $\operatorname{dev}(S(E)) = \operatorname{dev}(E) + 1$.