Exercice 5, § 1

Si A est un anneau (non nécessairement commutatif), M un A-module à gauche, on note Kdev(M) la déviation de l’ensemble des sous-modules de M, ordonné par inclusion. On pose Kdev(A) = Kdev(A_s). a) Si N est un sous-module d’un A-module M, on a

b) Supposons A commutatif. Si p et q sont deux idéaux premiers de A tels que $p \subset q$ et $p \neq q$, on a $\operatorname{dev}(A/p) > \operatorname{dev}(A/q)$. (Utiliser les idéaux $p + Ax$, où x est un élément de $q - p$.) En déduire $\dim(A) \leq \operatorname{Kdev}(A)$. c) Supposons A commutatif et noethérien. Démontrer que l’on a $\dim(A) = \operatorname{Kdev}(A)$ (raisonner par récurrence sur $\dim(A)$, en supposant que $\operatorname{Kdev}(B) \leq \dim(B)$ pour tout anneau commutatif noethérien B tel que $\dim(B) < \dim(A)$; soit S l’ensemble des $s \in A$ qui n’appartiennent à aucun des idéaux premiers $p$ de A tels que $\dim(A) = \dim(A/p)$; montrer que, pour tout A-module de type fini M tel que S^{-1}M = 0, on a Kdev(M) < dim(A); en utilisant le fait que S^{-1}A est artinien, en déduire que Kdev(A) \leq dim(A)). Prouver que l’on a dim(M) = Kdev(M) pour tout A-module de type fini M.