Bài tập 5, § 1

Nếu A là một vành (không nhất thiết giao hoán), M là một A-môđun trái, ký hiệu Kdev(M) là độ lệch của tập hợp các môđun con của M, có thứ tự theo quan hệ bao hàm. Đặt Kdev(A) = Kdev(A_s). a) Nếu N là một môđun con của một A-môđun M, ta có

b) Giả sử A giao hoán. Nếu p và q là hai iđêan nguyên tố của A sao cho $p \subset q$ và $p \neq q$, ta có $\operatorname{dev}(A/p) > \operatorname{dev}(A/q)$. (Sử dụng các iđêan $p + Ax$, trong đó x là một phần tử của $q - p$.) Suy ra $\dim(A) \leq \operatorname{Kdev}(A)$. c) Giả sử A giao hoán và Noether. Bài tập chứng minh rằng $\dim(A) = \operatorname{Kdev}(A)$ (lập luận bằng quy nạp theo $\dim(A)$, giả sử rằng $\operatorname{Kdev}(B) \leq \dim(B)$ với mọi vành giao hoán Noether B sao cho $\dim(B) < \dim(A)$; cho S là tập hợp các $s \in A$ không thuộc bất kỳ iđêan nguyên tố p nào của A sao cho $\dim(A) = \dim(A/p)$; bây giờ chứng minh rằng, với mọi A-môđun hữu hạn sinh M sao cho $S^{-1}M = 0$, ta có $\operatorname{Kdev}(M) < \dim(A)$; sử dụng việc $S^{-1}A$ là vành Artin, suy ra $\operatorname{Kdev}(A) \leq \dim(A)$). Chứng minh rằng ta có $\dim(M) = \operatorname{Kdev}(M)$ với mọi A-môđun hữu hạn sinh M.