Exercice 4, § 2

Soient A un anneau local intégralement clos, m_A son idéal maximal et K son corps des fractions. Pour tout élément x de K, on note A[x] la sous-A-algèbre de K engendrée par x. Soit x un élément de K* tel que x⁻¹ n’appartienne pas à A. Soient A[X] l’anneau des polynômes en une indéterminée X, à coefficients dans A, et φ l’application d’évaluation P ↦ P(x) de A[X] sur A[x]. a) Le noyau de φ est l’idéal Q engendré par les polynômes de la forme aX + b, où a, b ∈ A et ax + b = 0. (Si P(X) = $\sum_{i=0}^{n} a_i X^i$ est tel que P(x) = 0, remarquer qu’alors −b₀ = a₀x est entier sur A donc appartient à A.) b) L’idéal m_A A[x] de A[x] est premier, et il est maximal si et seulement si x appartient à A.