Bài tập 4, § 2

Cho $A$ là một vành địa phương đóng nguyên, $\mathfrak{m}_A$ là iđêan cực đại của nó và $K$ là trường phân thức của nó. Với mọi phần tử $x$ của $K$, ký hiệu $A[x]$ là đại số con của $K$ sinh bởi $x$. Cho $x$ là một phần tử của $K^*$ sao cho $x^{-1}$ không thuộc $A$. Cho $A[X]$ là vành các đa thức theo một bất định $X$, với các hệ số trong $A$, và cho $\varphi$ là ánh xạ lấy giá trị $P \mapsto P(x)$ từ $A[X]$ lên $A[x]$. a) Hạt nhân của $\varphi$ là iđêan $Q$ sinh bởi các đa thức có dạng $aX + b$, trong đó $a, b \in A$ và $ax + b = 0$. (Nếu $P(X) = \sum_{i=0}^{n} a_i X^i$ là sao cho $P(x) = 0$, chú ý rằng khi đó $-b_0 = a_0 x$ là nguyên trên $A$ và do đó thuộc $A$.) b) Iđêan $\mathfrak{m}_A A[x]$ của $A[x]$ là nguyên tố, và nó là cực đại khi và chỉ khi $x$ thuộc $A$.