Exercice 2, § 3

Soit A un anneau noethérien intègre. On suppose que A n’est pas un corps et que le corps des fractions de A est une A-algèbre de type fini. Alors A est semi-local et de dimension 1. (Montrer qu’il existe un élément non nul et non inversible f de A tel que A[f^{-1}] soit un corps, et se ramener à démontrer que dim(A/(f)) = 0 ; s’il en était autrement, A/(f) posséderait un idéal premier de hauteur 1 dont l’image réciproque p dans A serait un idéal premier de hauteur 2 ; mais l’anneau local A_p de dimension 2 ne pourrait avoir qu’un nombre fini d’idéaux premiers, contrairement à la prop. 6 du § 3, no 3.)