Bài tập 2, § 3

Cho $A$ là một vành nguyên Noether. Giả sử rằng $A$ không là một trường và rằng trường phân thức của $A$ là một đại số $A$ sinh hữu hạn. Khi đó $A$ là nửa địa phương và có chiều 1. (Chứng minh rằng tồn tại một phần tử $f$ khác không và không khả nghịch của $A$ sao cho $A[f^{-1}]$ là một trường, và rút gọn về việc chứng minh rằng $\dim(A/(f)) = 0$; nếu không như vậy thì $A/(f)$ sẽ chứa một iđêan nguyên tố có chiều cao 1 mà ảnh ngược $\mathfrak{p}$ của nó trong $A$ sẽ là một iđêan nguyên tố có chiều cao 2; nhưng vành địa phương $A_{\mathfrak{p}}$ có chiều 2 chỉ có thể có một số hữu hạn các iđêan nguyên tố, trái với Mệnh đề 6 của § 3, No. 3.)