Exercice 13, § 5

Soient p un nombre premier, f un entier > 0. Posons L = Q(ζ) où ζ est une racine primitive p^{f}-ième de 1, B = Z[ζ] le sous-anneau de L engendré par ζ. Montrer que B est la fermeture intégrale de Z dans L. (Par un calcul de discriminant, on montrera que $B\left[\frac{1}{p}\right]$ est la fermeture intégrale de $Z\left[\frac{1}{p}\right]$ (V, § 1, no 6, lemme 3); en notant \overline{B} la clôture intégrale de B, on en déduira \overline{B} ⊂ \bigcap_{q} Z_q[ζ] où q parcourt les nombres premiers, d’où \overline{B} ⊂ Z[ζ].)