Exercice 23, § 5

Soient $k$ un corps d’exposant caractéristique $p$, $A$ une $k$-algèbre de type fini, $p$ un idéal premier de $A$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) l’anneau $A_p \otimes_k k'$ est régulier pour toute extension $k'$ de $k$; (ii) l’anneau $A_p \otimes_k {k'}^{-\infty}$ est régulier; (iii) l’anneau $A_p \otimes_k k'$ est régulier pour toute extension finie et radicielle $k'$ de $k$. (Pour démontrer (ii) $\Rightarrow$ (iii), utiliser l’exerc. 14, a), p. 96. Pour démontrer (iii) $\Rightarrow$ (i), il suffit de montrer que $A_p \otimes_k k'$ est régulier lorsque $k'$ est une extension de type fini de $k$ (exerc. 21), extension radicielle d’une extension transcendante pure (exerc. 22 et 14, a), et majoration de l’extension $k'$ par une extension finie quasi-galoisienne d’une extension transcendante pure). Majorer alors $k'$ par une extension $k''(X_1, ..., X_n)$ où $k''$ est une extension finie et radicielle de $k$ et se ramener au cas $k' = k''(X_1, ..., X_n)$ par l’exerc. 14, a). En posant $B = A_p \otimes_k k''$, algèbre régulière d’après (iii), on a $A_p \otimes_k k' = B \otimes_{k''} k''(X_1, ..., X_n)$, algèbre régulière d’après l’exerc. 6, e), p. 94.) On dit que $p \in \mathrm{Spec}(A)$ est lisse s’il possède les propriétés équivalentes ci-dessus.