Bài tập 23, § 5

Cho $k$ là một trường có số mũ đặc số $p$, $A$ là một $k$-đại số sinh hữu hạn, $p$ là một iđêan nguyên tố của $A$. Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) vành $A_p \otimes_k k'$ là chính quy với mọi mở rộng $k'$ của $k$; (ii) vành $A_p \otimes_k {k'}^{-\infty}$ là chính quy; (iii) vành $A_p \otimes_k k'$ là chính quy với mọi mở rộng hữu hạn và thuần túy không tách được $k'$ của $k$. (Bài tập chứng minh (ii) $\Rightarrow$ (iii), dùng Bài tập 14, a), p. 96. Để bài tập chứng minh (iii) $\Rightarrow$ (i), chỉ cần chỉ ra rằng $A_p \otimes_k k'$ là chính quy khi $k'$ là một mở rộng sinh hữu hạn của $k$ (Bài tập 21), mở rộng thuần túy không tách được của một mở rộng siêu việt thuần túy (các Bài tập 22 và 14, a), và sự trội của mở rộng $k'$ bởi một mở rộng hữu hạn giả Galois của một mở rộng siêu việt thuần túy). Bây giờ trội $k'$ bởi một mở rộng $k''(X_1, ..., X_n)$ trong đó $k''$ là một mở rộng hữu hạn và thuần túy không tách được của $k$ và rút gọn về trường hợp $k' = k''(X_1, ..., X_n)$ bởi Bài tập 14, a). Đặt $B = A_p \otimes_k k''$, một đại số chính quy theo (iii), ta có $A_p \otimes_k k' = B \otimes_{k''} k''(X_1, ..., X_n)$, một đại số chính quy theo Bài tập 6, e), p. 94.) Ta nói rằng $p \in \mathrm{Spec}(A)$ là trơn nếu nó có các tính chất tương đương ở trên.