Exercice 3, § 5

Soit $A$ un anneau local noethérien. On se propose de montrer que $A$ est régulier si et seulement si $\mathrm{dh}(A)$ est fini. a) Supposons $\mathrm{dh}(A)$ fini. Pour montrer que $A$ est régulier, utiliser A, X, p. 208, exerc. 13. b) Supposons $A$ régulier. Soit $x$ une famille complètement sécante engendrant $m_A$. Alors, le complexe de Koszul correspondant à $x$ est une résolution finie de $A/m_A$ par des $A$-modules libres. Appliquer alors A, X, p. 203, exerc. 16.