Bài tập 3, § 5

Cho $A$ là một vành địa phương Noether. Ta đề xuất chứng minh rằng $A$ là chính quy khi và chỉ khi $\mathrm{dh}(A)$ là hữu hạn. a) Giả sử $\mathrm{dh}(A)$ là hữu hạn. Để chứng minh rằng $A$ là chính quy, sử dụng A, X, p. 208, bài tập 13. b) Giả sử $A$ là chính quy. Cho $x$ là một họ cắt hoàn toàn sinh $m_A$. Khi đó, phức Koszul tương ứng với $x$ là một phân giải hữu hạn của $A/m_A$ bởi các $A$-môđun tự do. Áp dụng khi đó A, X, p. 203, bài tập 16.