Exercice 10, § 7

Soit A un anneau. a) Soit B une A-algèbre entière. Montrer que pour tout élément a de A et tout idéal a de A, l’élément a est entier sur a si et seulement si a est entier sur l’idéal a.B engendré par a dans B. b) Supposant A noethérien et réduit, notons $p_1, ..., p_r$ les idéaux premiers minimaux de A et considérons l’injection naturelle :

Montrer qu’elle fait de $\prod_{1 \leqslant i \leqslant r} A/p_i$ une A-algèbre entière. c) En déduire que, étant donné un anneau noethérien A, pour qu’un élément a de A soit entier sur un idéal a, il est nécessaire et suffisant que, pour tout idéal premier minimal p de A, l’image de a dans A/p soit entière sur l’idéal $(a + p)/p$. d) Montrer que si $\overline{a} = \overline{b}$, les idéaux a et b ont mêmes idéaux premiers minimaux associés.