Bài tập 10, § 7

Cho A là một vành. (a) Cho B là một đại số trên A nguyên. Chứng minh rằng với mọi phần tử a của A và mọi iđêan a của A, phần tử a là nguyên trên a khi và chỉ khi a là nguyên trên iđêan a.B sinh bởi a trong B. (b) Giả sử A là Noether và rút gọn, ký hiệu $p_1, ..., p_r$ là các iđêan nguyên tố cực tiểu của A và xét đơn ánh tự nhiên:

Chứng minh rằng nó làm cho $\prod_{1 \leqslant i \leqslant r} A/p_i$ trở thành một đại số trên A nguyên. (c) Suy ra rằng, cho một vành Noether A, để một phần tử a của A là nguyên trên một iđêan a, điều kiện cần và đủ là, với mọi iđêan nguyên tố cực tiểu p của A, ảnh của a trong A/p là nguyên trên iđêan $(a + p)/p$. (d) Chứng minh rằng nếu $\overline{a} = \overline{b}$, các iđêan a và b có cùng các iđêan nguyên tố cực tiểu liên kết.