Exercice 14, § 7

Soient A un anneau local, m son idéal maximal, et q un idéal de A, distinct de A, tel que A/q soit de longueur finie. On suppose que A contient un sous-corps k tel que $A = k + m$. a) Montrer qu’il existe des éléments $x_1, ..., x_d$ de q, où $d = \dim(A)$, avec $x_i \in q^{\delta_i}$, tels que, pour tout entier v assez grand, on ait $q^v = x_1.q^{v-\delta_1} + \cdots + x_d.q^{v-\delta_d}$. b) Si l’on suppose le corps A/m infini, on peut trouver un idéal a engendré par d éléments de q; où $d = \dim(A)$, tel que $\overline{a} = \overline{q}$. (On pourra utiliser § 7, no 5.)