Bài tập 14, § 7

Cho $A$ là một vành địa phương, $m$ là iđêan cực đại của nó, và $q$ là một iđêan của $A$, phân biệt với $A$, sao cho $A/q$ có độ dài hữu hạn. Giả sử rằng $A$ chứa một trường con $k$ sao cho $A = k + m$. a) Bây giờ chứng minh rằng tồn tại các phần tử $x_1, ..., x_d$ của $q$, trong đó $d = \dim(A)$, với $x_i \in q^{\delta_i}$, sao cho, với mọi số nguyên v đủ lớn, ta có $q^v = x_1.q^{v-\delta_1} + \cdots + x_d.q^{v-\delta_d}$. b) Nếu giả sử trường A/m là vô hạn, ta có thể tìm được một iđêan a sinh bởi d phần tử của q; trong đó $d = \dim(A)$, sao cho $\overline{a} = \overline{q}$. (Có thể sử dụng § 7, no 5.)